„Парите, похарчени за образование, никога не пропадат напразно.“

Намиране на начини за решаване на проблема. Ще разгледаме едновременно два вида сдвоени проектирания на равнина – общоприето линейно проектиране и сферично – за тяхното сравнение и оценка. Надеждността на измерванията на обектите и техните полета в сферичното пространство при използване на чифт измервателни уреди се осигурява само при разглеждане на техните проекции върху обща равнина. За да се направи това, Евклид предложил да се разгледа основата на сдвоени измерители и наблюдаваният сегмент от обекта в пространството върху повърхностите на кълбо.
Сферата (кълбото) има абсолютна симетрия и най-малък брой параметри, които я описват: линейни и сферични. От линейните параметри това са радиусът (диаметърът) и хордата, а от сферичните параметри – ъгълът, чиито равнинни преобразувания се описват от проекционните съотношения върху ортогонални равнини. Тоест всеки сферичен обект може да бъде описан с радиус и две проекции върху координатните оси на неговия пространствен ъгъл.
Проекцията на сфера в кълбо има най-голяма простота на описание, където всички пространствени параметри могат да бъдат оценени от проекциите на две точки на една и съща координатна ос, свързани с размера на хордата, от границите на която има допирателни към сферичната повърхност на друг обект. Физическите полета на обектите се описват с радиуси, които имат амплитудни стойности, ортогонални на тях, което позволява да се оцени взаимната ориентация и да се опишат чрез тригонометрични функции въз основа на оценки на съотношенията на радиусите и амплитудите на физическите параметри.
Векторът в кълбото е представен от радиус с амплитудата на физическото поле в края му, въртенето на радиуса върху равнината на наблюдение ще промени ъгъла между амплитудата и допирателната, начертана към радиуса, и ще се покаже на равнината на измерване чрез промяна на стойността на амплитудата по време на нейното въртене.

За да гарантираме надеждността на измерванията, ще използваме: два измерителя 1 и 2, разположени на известна хорда D на повърхността на измервателното кълбо, и две гранични точки A и B на повърхността на полето на кълбото на обекта, наблюдавани като хорда на кълбото на обекта (рис. 1) и комбинирано от двойна паралаксна координатна система. Горната конструкция е получена чрез линейна проекция на двойни измервания, които се разглеждат в голям брой произведения от различни автори и могат да се използват за сферични обекти.

Рис.1. Процес на проектиране в сдвоена паралаксна координатна система, разположена в кълбо (обяснения – в текста)

Кълбата се обединяват от равнината на наблюдение Г0Y с ос на наблюдение Y, минаваща през центъра на основата 012 и точка C, разположена в средата на хордата на обекта. Всеки участък от кълбото е кръг, чийто център може да не съвпада с центъра на кълбото, но радиусът на кръга, който има максимум, също е радиусът на кълбото. Когато оста Y минава през средата на хордата C и центъра на топката 0a, условието Ra=max е изпълнено. Когато амплитудата на полето в точки A и B е максимална, амплитудата, съответстваща на точка C, има свойството на минимум и нейната разлика от нула е пропорционална на разстоянието на точка C от центъра на топката 0a. Радиусите, ортогонални на допирателните, се пресичат в центровете на кълбата, проектират се върху хорди с постоянна дължина, като същевременно имат индивидуални и равни проекции върху координатните оси Y и Z, които характеризират ориентацията на радиуса на кълбата в пространството.
Чрез завъртане на равнината на наблюдение 12C около правата линия AB заедно с оста на наблюдение Y до максималните размери на наблюдаваните проекции a1 и a2 на правата линия AB и амплитудите на сигналите A, които са в противофаза по време на измерванията, всички описани конструкции са изпълнени.

Геометричната сума на векторите, излъчвани от сферичната повърхност, се редуцира до резултантната, излизаща от точка С, които докосват повърхността на измервателното кълбо в точки 1 и 2 и се въртят към нейния център 0.
Ортогоналността на допирателните към повърхността на кълбото позволява да се оценят пространствените ъгли като равнинни.
Паралактични лъчи γ1, излизащи от центъра 02 на полето на обекта, осветяват повърхността на „кълбото-измерител“, докосват неговата повърхност в точки 1 и 2 и се разделят на две части. Една от частите продължава да се движи, докато се пресече с измервателната ос Г, която се намира на произволно (неизвестно) разстояние f от основата, а другата се завърта по радиуса R към центъра на топката 0. Лъчите, движещисе по радиусите взаимодействат в центъра на полето 0, образувайки в него равнинна координатна система Y0Г0, една от осите на която Г0 е успоредна на основата D, а другата съвпада с направлението на проекционната ос Y. Компонентите на паралактичните лъчи се изобразяват по координатните оси, като се компенсират по оста Г0, успоредна на основата, и се сумират по оста Y чрез сегменти f0, които характеризират разстоянието на центъра на кълбото 0 от основата и позицията на оста Г0‖ D.

На разстояние L центърът 02 на полето на обекта се проектира върху половината от основата D, т.е. повърхността на паралаксния ъгъл, осветяващ основата, е равна на S  L.D/2. Радиусите, изтеглени от центъра на кълбото до точките на контакт, осигуряват изграждането на система от подобни правоъгълни триъгълници с ъгъл на паралакс γ1. Допирателните, прекарани от центъра 02 към повърхността на измервателното кълбо във всяка от точки 1 и 2, образуват система от три подобни правоъгълни триъгълника с еднакъв ъгъл γ1.
За точка 1 това са триъгълници ∆020121≡∆01210≡∆А110, свързани със следните линейни и равнинни зависимости:

В съответствие с уравнение (1), когато се проектира в кълбото в надлъжната равнина на наблюдение, линейната информация, изобразена по оста Г₀ до сегмента D’, се компресира в ъгъла на паралакса. Външното пространство L е компресирано в куб, а вътрешното пространство D – в квадрат, а отношението на повърхностите на паралактичния ъгъл до S и след компресията s се съотнася в куб.
Изчертавайки две успоредни оси Y₁ и Y₂ от точки на хордата, свързваща измервателните уреди, получаваме сферична паралаксна координатна система, за всички построения които се извършват върху равнината на наблюдение Г₀0Y. Конструкциите на равнината Г₀0Y са невидими, но техните проекции се показват върху осите Z₀ и Г₀.

Използването на сдвоена паралактична сферична координатна система осигурява геометрично описание на кубичното затихване на полетата в пространството, в зависимост не от разстоянието, а от повърхността на паралактичните ъгли на видимост, показани като стъпки в границите на изобразяването на обекта, установяване на точно и достоверно описание на геометричните размери и физичните процеси в пространството според зависимостта от геометричната средна.

В резултат на това получаваме система от проекции на радиусите на кръгове в кълбото, чиито сечения са разположени под различни ъгли спрямо оста на координатната система Г, имащи обща хорда-база D и център 0. Натрупаната енергия в центъра на кълбото се показва върху кръговете в кълбото, различни по амплитуда и фаза, въздейства на измервателните уреди 1 и 2. Всички измервания на равнината на наблюдение Г0Y (също Г0Y) са свързани с размерите на радиуса на кълбото R и основата, така че при тези измервания е най-удобно да се използва пространствената метрика, свързана с разделянето на основата на произволен брой части, използвани за оценка на котангенса на паралактичния ъгъл. При разделяне на основата на около 10¹⁰ части, например, с помощта на нанометрови дължини на вълните, при извършване на относителни измервания е възможно да се постигне разделителна способност на измерване от порядъка на 10³⁰ от измерената стойност, което изглежда нереалистично.

Измерванията в паралактичната координатна система са линейни, когато се използват правилата на сферичната проекция по отношение на ъгловите параметри и надеждни, тъй като осигуряват множество оценки на всеки етап от изчислението.
Проекцията на паралактичния ъгъл γ₁ върху сферичната повърхност осигурява картографирането му върху двете части от радиуса на кълбото R, едната от които е насочена по оста Y от центъра 0 и е постоянна стойност. Тя зависи от собствения потенциал на полето на измерителя, а другата – 00₁₂, съвпадаща с посоката на оста f₀, е променлива и зависи от полето на източника и разстоянието до него. Тя фиксира позицията на центъра на измервателното кълбо. При измерване на размерите на обектите, измервателните скали по осите Г и Z ще бъдат равни само когато оста Y минава през центровете 0 и 0₁₂ на полетата на обекта.
Нека разгледаме разликите между сферичните и линейните проекции на правата линия AB в сдвоената паралактична координатна система, показана на рис. 2. Проявява се в оценката на относителната грешка ε_L на разстоянието на обекта L и мащаба на изображението.

Рис. 2. Измервания в сдвоена паралаксна координатна система по правилата на сферичната и линейната проекция (обясненията са в текста)

В проективната сферична координатна система разликите се изразяват както в друго проектирано разстояние на обекта (L или L₀), така и в проекциите, които ги описват (∆_dа, и ∆_d0), чиито относителни изменения трябва да бъдат равни:

където Е_0а е разстоянието на центъра на обекта 0a от правата линия AB.
Линейното проектиране се основава на линейното пренасяне на размерите на прави линии, успоредни на основата, върху равнината, показана от лявата страна на рис. 2, т.е. проекциите на правата AB‖d винаги са равни на a, което винаги е вярно в равнината. На същата основа се смята, че проекциите на техните половини Δ_d са равни, но това условие не е изпълнено в сферичното пространство на източника, тъй като при линейна проекция всъщност се проектира векторът Ra║R, който не се вижда, но е източникът на полето. Изкривяванията възникват поради сферичността на повърхността между точките С0_а. Проекцията ∆_dа на вектора Ra върху оста Г, показана от дясната страна на рис. 2, е индикатор за промяната в проекцията на основата d от паралактичните лъчи, когато те напускат центъра на обекта 0a, а не от точка C.

При линейна проекция радиусите се проектират на сферичните полета на обекта, а не неговата наблюдавана „хорда“, което се потвърждава от равенството на паралактичния ъгъл на половината от ъгъла на наблюдение на обекта. Радиусът на полето Ra е невидим, но е вектор, тоест излъчващият елемент на полето. Тази грешка в линейното проектиране е систематична и не може да бъде елиминирана.
Всички параметри се изчисляват по оценки на паралактичните ъгли, осигуряващи контрол върху оценката на параметрите както за линейната, така и за сферичната проекция, различаващи се в мащаба на изображение и функционалната зависимост:

При линейно проектиране получаваме оценка на L в единици дължина. При сферично проектиране получаваме оценка L₀ в характеристиката на насочеността на вектора на измереното поле Rа по отношение на посоката АВ∥d. Съотношението на проекциите на вектора R характеризира разделителната способност на измервателните уреди по координатните оси и позволява да бъдат контролирани.
В сдвоена сферична паралактична координатна система векторите Ra║R, свързани с паралактичния ъгъл φ₀, са мащабирани. Разположението на центровете на три сферични обекта в една и съща равнина на наблюдение, свързани с оста Y, дава възможност за аналитично точно описване на мащаба както по оста Г₀, свързана с основния размер, така и по оста Y. От сходството на триъгълници ∆010₁₂ и ∆10’1’, подчертани на рис. 2 следва:

където ∆_d и d са измерените проекции на радиуса на измервателното кълбо R върху координатните оси Г₀.
Коефициентите на мащабиране на трансформацията на изображенията по оста Г₀ се определят от мащаба М_Г0 на трансформацията на Ra в R:

Тази зависимост показва, че в случай на сферична проекция в паралактичната координатна система понятието мащаб като постоянен коефициент се отнася до радиуса, а не до проекциите върху координатните оси. Мащабните коефициенти по координатните оси се променят в синус-косинусови зависимости от мащаба на радиуса. Използваме линейна и сферична проекция, за да опишем трансформацията на радиусите, показани на рис. 2, където за линейна проекция разстоянието от основата на оста Г – f, а за сферична Г₀ – f_0.
Всяка от окръжностите има свой собствен ъгъл на паралакс за преобразуване на радиуса в измеряема хорда (база), т.е.

Използването на обратни зависимости при прави и обратни трансформации е безусловно свойство на надеждността на извършваните операции. По подобен начин сферичните функции ще опишат физическите полета на обектите, техните увеличения и ускорения.