„Мнозина искат, но малцина могат.“

Публикацията е посветена на обосноваването на закона за разпределение на модулите на невязките като случайни величини. За разлика от използвания в момента закон за разпределение на Рейли, законът за разпределение на Райс, предложен за оценка на статистическите параметри на модулите на невязките, взема в предвид не нулевата стойност на математическото очакване на грешките на географската ширина и отместването.

Инерциалната навигационна система (ИНС) е автономна система, която проследява позицията, ориентацията и скоростта на превозно средство (самолет, кораб, ракета) чрез измерване на ускоренията и ъгловите скорости с помощта на акселерометри и жироскопи, без да се нуждае от външни сигнали като GPS, което я прави идеална за засенчени зони или като резерва, като се базира на принципите на динамиката.

Наблюдението е процес на получаване на навигационна информация, която характеризира позицията на кораба в пространството спрямо навигационните ориентири. Несъответствието е векторът на отклонение на наблюдаваното място на кораба от съответстващото му (по време) счислимото място.

Понастоящем статистическите параметри на модулите невязка (без да се взема предвид тяхната посока) като случайни променливи се оценяват с помощта на разпределението на Рейли с функция на плътност от вида (1).

където 𝑍 е случайна променлива (модул на невязката),

δ_φ, δ_𝑊 – грешки в ширината и отместването с нормално разпределение;

α – параметър на мащаба, режим (най-вероятната стойност на модулите на невязките), (α > 0), (α = σ_δφ = σ_δ𝑤);

σδφ, σδ𝑤𝑤 – средно квадратично отклонение (СКО) на грешките в географската ширина и дължина.

През 1880 г. Джон Уилям Стрет (лорд Рейли) предлага да се използва това разпределение при решаването на проблема за добавяне на хармонични трептения със случайни фази, по-късно то се нарича разпределение на Рейли.

Разпределението на Рейли описва разпределението на случайна променлива – дължината на двумерен вектор 𝑍, чиито правоъгълни координати (𝑋, 𝑌) са независими и се подчиняват на нормалния закон на разпределение, имат нулеви математически очаквания (𝑚_𝑥 = 0, 𝑚_𝑦 = 0) и еднакви дисперсии σ_𝑥² = σ_𝑦² = α² .

Не е напълно правилно да се използва разпределението на Рейли за оценка на статистическите параметри на модулите на невязки (без оглед на тяхната посока) като случайни променливи, тъй като математическото очакване на случайни променливи (δ_φ, δ_𝑊) обикновено е различно от нула (𝑚_δφ≠ 0, 𝑚_δ𝑊 ≠ 0) поради редица фактори, влияещи върху моментната стойност на изходната навигационна информация за позицията на кораба в пространството, измерена в момента на наблюдението.

Тези фактори включват:
– ниско честотни денонощни флуктуации в изходните данни на инерциалната навигационна система (ИНС) на навигационния комплекс;
– дневна периодичност на приливните течения с дневна честота на времето за наблюдение;
– постоянни токове и др.

Възможно е да се приложат изискванията за същите оценки на дисперсията на случайните променливи (δ_φ, δ_𝑊) само с кръгова дисперсия на остатъчните модули. Но дисперсиите на случайните величини – инерциални ширина и дължина, поради различното физическо естество на тяхното производство (съхраняване), като правило са различни: σ_δφ² ≠ σ_δ𝑊².

През 1945 г. е установено, че разпределението на Рейли е частен случай на разпределението, което е изведено от американския учен Стивън Райс и е получило името („Разпределение на Райс“).

Разпределението на Райс (Рейли – Райс) описва разпределението на случайна променлива – дължината на двумерен вектор 𝑍, чиито правоъгълни координати (𝑋, 𝑌) са независими нормално разпределени случайни променливи с ненулеви математически очаквания 𝑚_𝑥 ≠ 0, 𝑚_𝑦 ≠ 0 и еднакви дисперсии σ_𝑥² =σ_𝑦² = α². При тези условия случайната променлива 𝑍 има разпределение на Райс с функция на плътност от вида (2).

където 𝑍 е случайна променлива (модул на невязка)

α – параметър на мащаба, режим (най-вероятната стойност на модулите на невязки) (α > 0), (α = σ_δφ = σ_δ𝑤);

ℎ – параметър на формата, (ℎ > 0),

𝑚_δφ, 𝑚_δ𝑊 – математически очаквания на правоъгълни координати – грешки на географска ширина и отместването;

𝐼₀(𝑍) – модифицирана формула на Бесел от първи вид от нулев порядък.

Използването на разпределението на Райс за оценка на статистическите параметри на модулите на невязките измества изискванията за математическите очаквания на грешките на географската ширина и отместването (𝑚_δφ, 𝑚_δ𝑊) от нула (за закона на Рейли) към ненулева стойност. При ℎ → 0 разпределението на Райс клони към разпределението на Рейли (виж рис. 1).

Рис. 1. Функцията на плътност на разпределението на Райс-Рейли на остатъчни модули при 𝛂= 𝟏 и 𝒉= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 3
На практика при проверка на съответствието на точността на генериране на координатите на местоположението на кораба с формулярните стойности на интегрираната малогабаритна навигационна и стабилизираща система «Кама-НС-В» бяха получени следните оценки за статистическите параметри на случайни променливи – грешки при географска ширина и отместването:
– грешките на географската ширина и отместването (δ_φ, δ_𝑊) се разпределят по нормалния закон;
– математическите очаквания на грешките на географската ширина и отместването не са равни на нула (𝑚_δφ ≠ 0, 𝑚_δ𝑊 ≠ 0). Математическото очакване на грешката при отместването превишава математическото очакване на грешката на географската ширина (𝑚_δ𝑊 > 𝑚_δφ);
– дисперсиите на грешките на географската ширина и на отместването не са равни една на друга (σ_δφ² ≠ σ_δ𝑤² ), а дисперсията на грешката на отместването значително надвишава дисперсията на грешката в географската ширина (σ_δ𝑤² > σ_δφ²).

По този начин, дори когато се използва разпределението на Райс-Рейли за оценка на статистическите параметри на модулите на невязките като случайни променливи, едно от условията на разгледаните по-горе разпределения – кръговото разпределение на грешките в географската ширина и отместването остава неизпълнено.

Заключения.

1. В резултат на разглеждане на свойствата на разпределенията на Рейли и Райс може да се приеме, че в общия случай е по-правилно да се използва разпределението на Райс за оценка на статистическите параметри на модулите на невязките като случайни променливи.

2. И в двете разпределения (Рейли и Райс) се приема, че дисперсията на случайните променливи X и Y е еднаква, което показва необходимостта да се приеме кръгова (радиална) грешка в координатите на мястото на кораба, а не на елипсовидна, наблюдавана на практика.

3. Разпределението на Райс не е напълно подходящо за оценка на статистическите параметри на модулите на невязки, получени в резултат на работата на без платформена ИНС, поради значителното превишаване на дисперсията на грешката на инерциалната дължина и над дисперсията на грешката на инерциалната ширина.

4. С неограничено приближение на математическите очаквания на грешките на географската ширина и отклонението до нула (𝑚_δφ → 0, 𝑚_δ𝑊 → 0), е препоръчително да се използва разпределението на Рейли за оценка на статистическите параметри на модулите на невязките като случайни променливи.