// Вие четете...

Без категория

Методи на интерполация в океанографията.

„Не гледай кой е писал, гледай какво е написано.“

Въведение. Вече бяха разгледани методите за представяне на изучаваните океанографски полета във вид на техните математически модели. Но от части при изследване на океанографските параметри се измерват не по цялата изследвана площ, а в отделни точки, или на отделни профили (галси).

При това възниква задача за получаване (разчет) на значенията на океанографските параметри в промеждутъчните точки, тоест там където не се извършват измервания. Тези значения обикновено се получават, използвайки методите на интерполация. Разчитат се промеждутъчните значения, използвайки едни или други формули, изхождайки от предположението, че океанографския параметър се изменя в пространството линейно или не линейно. В първия случай се прилагат формулите за линейна или оптимална интерполация, а във втория – на нелинейната интерполация.

Естествено е, че при интерполираното значението на параметъра се получава с определена погрешност. Величината на погрешността зависи от метода на интерполация и интервала на интерполация.

Методи на определяне на значенията на океанографските параметри между точките на измерване. Съществуващите прибори позволяват изучаването на различни квазистационарни полета по пътя на:

– измерване на значението на параметъра или параметъра и неговия градиент в отделни точки;

– измерване непрекъснато значението на параметъра или съвместно на параметъра и неговия градиент по пътя на движение на носителя;

– получаване непрекъснато значението на изучавания параметър в някаква полоса по протежение на пътя на движение на носителя.

Във всички тези случаи (освен последния, позволяващ площно обследване) възниква задачата за интерполация с цел получаване на промеждутъчни значения на параметрите в точките, където наблюдения не са били извършвани.

Определянето на значенията в промеждутъчните точки може да бъде извършено по следващите способи:

– разпространение на измерената в точката величина на някаква площ;

– приемане за някаква площ на средното значение на параметъра, измерен в няколко точки;

– по пътя на интерполационни изчисления;

– използване на апроксимиращо изражение, свързващо значението на параметъра на полето с текущи координати.

Първия способ е целесъобразно да бъде използван при много редки точечни измервания (например, гравиметрични, проби от грунда и т.п.). Погрешността, възникваща при това, зависи от разстоянието между точката на измерване и точката, на която ние разпространяваме измереното значение, може да бъде изчислена по формулата:

където 1 – измерено значение на параметъра в точка 1;

(t) – фактическо значение на параметъра в точка, отдалечена на разстояние  от точки 1;

D() – структурна функция, която е равна:

K() – корелационна функция.

Както се вижда от горе приведените формули, тази погрешност нараства с увеличаването на разстоянието  (разстояние от точката на измерване). Очевидно е, че при D() > K(0) е изгодно да се използва втория способ. Пределния случай съответства на равенството:

Откъдето:

По нататъшно увеличаване на точността при същото това разстояние , е възможен третия способ – по пътя на интерполационните изчисления.

Общите изисквания, предявявани към методите на интерполация се явяват тяхната теоретична обоснованост и обективност, позволяващи да се получи единствено определен резултат.

В общия вид задачата за интерполация може да бъде записана по следния начин:

където ̃ – промеждутъчно значение на параметъра, получавано по пътя на интерполиране;

i – значение на параметъра в i-те точки;

’i – значение на производните на параметъра в същите тези точки;

 – вектор, определящ положението на точката, в която се извършва интерполацията.

Съществуват много варианти за интерполация, които могат да бъдат обединени в три групи:

– линейна интерполация;

– нелинейна интерполация;

– оптимална интерполация.

Освен това, интерполацията може да се класифицира по вида на пространствата, в които тя се осъществява:

– едно мерна (по профила);

– двумерна (по повърхност);

– тримерна (по някакъв обем);

– n – мерна, тоест интерполация в n – мерно пространство, определяно от линейни координати, време и други избрани параметри.

Общата формула за интерполация има вида:

където аi и а’i – коефициенти, определящи способа на интерполация.

Линейна интерполация. Най-често използваните случаи на линейна интерполация в практиката на хидрографските работи са следните:

а) Интерполация между две точки, не отчитаща значението на производните в тези точки (рис. 1).

При това в формула (6) имаме следното:

n = 2; a1 = 1 – /T ; a2 = /T и a’1 = a’2 = 0

Максималната средно квадратична погрешност m1, е равна на погрешността на интерполация на средната (тоест  = T/2), по определение ще е равна на

Рис. 1. Интерполация между две точки, без отчитане на значенията на производните в тези точки.

или с отчета на погрешността на снимката

където и – средна квадратична погрешност на измервания параметър;

м – средна квадратична погрешност на определяне на параметъра вследствие погрешността на координирането на снимката.

б) Интерполация между три значения в двумерна координатна система. При линейна интерполация в дадения случай полето може да бъде зададено във вида:

където g , g – градиенти на полето в двете направления.

където:

за начало на координатите в точките (i, i).

Средно квадратичната погрешност на интерполацията при това има достатъчно сложен вид, при определени допускания се получава определено опростяване по отношение на вида на триъгълника и изотропност на полето. Така средната квадратична погрешност на интерполацията в центъра на равностранния триъгълник със страна „L“, във върховете на който лежат точките на измерване, за изотропното поле се използва изражението:

Аналитичните методи съществуват и при интерполацията на параметъра по четири, пет и повече точки на измерване в двумерно пространство.

Не линейна интерполация. Опростен случай на нелинейна интерполация се явява параболичната интерполация, когато в две точки се измерват не само значенията на параметъра, но и значенията на неговите производни, тоест градиента (рис 2). В този случай за интерполация към средата на интервала, тоест при τ = T/2, следва:

Формулата за намиране на средната квадратична погрешност на интерполация към средата се извежда също както и за израза (9) и има окончателен вид:

където m1 – погрешност на линейната интерполация, определяна по формула (24);

D – сума от членовете, съдържаща първата и втората производна на корелационната функция.

Рис. 2. Параболична интерполация.

Към не линейната интерполация се отнася и случая на интерполация към средата с отчет на вторите разлики по формулата на Бесел (по 4-и точки):

Погрешността на интерполация в този случай е:

Както се вижда, апроксимацията на полето се явява частен случай на нелинейната интерполация.

Оптимална интерполация. Оптималната интерполация, основана на намиране на коефициентите в формула (6) при условие на минимум на средната квадратична погрешност на интерполация на дадения профил, което може да бъде записано във следния вид:

Опростен случай е, когато, като и по-рано, се касае за намирането на промеждутъчно значение на параметъра по известни значения, измерени в две точки, без отчитане на градиентите на полето в тези точки:

където коефициентите:

При интерполация към средата:

Погрешността на интерполацията към средата в този случай може да бъде изчислена по формулата:

В качеството на опростени частни случаи при два и три координата може да се разглежда като:

а) оптимална интерполация в центъра на равностранния триъгълник със страни Т, във върховете на който лежат точките на измерване (за изотропно поле):

б) оптимална интерполация към центъра на квадрат със страни Т:

в) оптимална интерполация към центъра на куб с ръб Т:

По подобен начин може да се получи изражението и за други случаи на оптималната интерполация, тоест за три и повече точки с отчитане на градиентите в тези точки.

Погрешността на интерполацията, понастоящем при приетите за времето на снимката на полето междугалсово разстояние е съизмеримо с погрешностите на измерваните параметри. От тук се вижда, че целесъобразността за прилагането на един или друг способ на интерполация зависи от точността на измервания параметъра. При това да се прилага оптималната интерполация при хидрографските работи е нецелесъобразно, тъй като точността на снимката е съизмерима с точността на интерполация на много по-прости методи. Увеличението на междугалсовото разстояние на повече от размерите типични за изследвания район, води до снижение на достоверността на картния материал.

Заключение. Разгледаните въпроси представляват голям интерес за практиката на изобразяването на резултатите от океанографските изследвания, тъй като позволяват създаването на математически модел на обекта на изследване, което на свой ред дава възможност да бъде разработена методика за изобразяване на резултатите от океанографските изследвания във вид на карта, графики, номограми и в геоинформационни системи.

По този начин:

– методите на интерполация позволяват да бъде възстановено изследваното поле между съседни точки или галси, на които са били извършени измервания;

– в хидрографските изследвания най-целесъобразно е да се прилагат методите на линейна интерполация, а понякога и билинейна интерполация, като най-прост и удовлетворяващ по своята точност метод;

– представянето на полето във вид на математическа зависимост (редове) и тяхната апроксимация се явяват частни случаи на методите на интерполация.

Коментари

Все още няма коментари

Публикувай коментар