// Вие четете...

Приложни науки

Квазистационарни полета на Земята. Част 1

„Ако не бяха вълните, морето съвсем не би било страшно.“

Въведение. Както е известно, всички квазистационарни полета могат да се разглеждат в качеството на един обект за хидрографските изследвания. За всестранна оценка на този обект е необходимо да се планират хидрографските изследвания в океана, за да може да се използва единен математически апарат.

При това трябва да се има в предвид, че образното представяне на полето във вид на сечение на някаква повърхност се явява съвсем условно, доколкото в действителност подобна повърхност не съществува. Но разглеждането на указаната условна повърхност в качеството на реализация на случайна хипотетична функция се оказва на практика доста плодотворна и позволява с успех да се прилага добре разработен апарат за случайна функция и на информационната теория.

Една от важните задачи за хидрографията се явява представянето на изучаваните квазистационарни полета посредством тяхното математическо описание, тъй като имайки математическо описание на някакво поле, може да се възстанови значението на това поле във всяка зададена точка, не извършвайки в нея непосредствено измерване. Поради това ще разгледаме въпросите по представянето на изучаваните хидрографски квазистационарни полета във вид на различни математически модели.

Разлагане в ред. Използвайки една от категориите на материалистическата диалектика – „всеобща” и отделяйки всеобщото в изучаваното поле, в общия случай измервания параметър като функция на координатите може да се представи във вид:

където ,  – координати на точката в полето;

z – дълбочина или височина на точката в полето;

t – момент на наблюдение.

Уравнение (1) може да бъде представено и в друг вид:

където U – представлява стационарна във времето съставляваща на функцията „“;

U – променлива съставляваща, явяваща се като поправка на функцията „U“ в отделен момент от време „t“.

Считайки измервания параметър за скаларен, който винаги може да се сведе към вектор, разглеждайки го като съвкупност от няколко скалара (модул и неговата проекция на координатните оси), изучаваното геофизично поле може да се представи във вид на скаларно поле в триизмерно пространство, за което стационарната съставляваща представлява една от уравенните (ниво) повърхности.

Постоянната съставляваща на изучавания параметър образува триизмерно поле, което не може да бъде представено с достатъчна за практиката точност с помощта на прости аналитични зависимости. И все пак за общото представяне на полето широко се използва методът за аналитично представяне на постоянната му съставляваща. Един от най-удобните прийоми за аналитично представяне на подобни полета се явява разлагането им по тригонометрични или сферични функции. Този метод широко се използва при изследване на гравитационното поле на Земята, с цел определяне формата на геоида и нейното влияние на движението на космическите обекти, при изследване на магнитното поле на Земята за отделяне на нормалното геомагнитно поле и за аналитичното представяне и разпределение на формите на релефа на земната повърхност.

Разложен в ред параметъра „U“ по тригонометрична функция се осъществява по протежението на някаква линия на повърхността на Земята по формулата

където an, bn – коефициенти, определяни по резултатите от натурални изпитания;

 – централен ъгъл, определящ положението на точката на зададена линия;

n – порядък на разлагането.

Най-често подобни разложения се осъществяват по земните меридиани и паралели. Разлагането в ред по сферична функция се осъществява по цялата повърхност на Земята по следната формула:

където anm, bnm – коефициенти, определяни по резултатите от натуралните измервания на параметъра;

,  – координати на точката, в която се изчислява значението на параметъра;

n – порядък на разложението;

Pnm– присъединена функции на Лежандър, определяна по формулата

Теорията и практиката на разложението в указания ред е широко разгледано в литературата. Броя на членовете на разлагане се определя от изискваната точност на изчисляване на параметъра, а също така от количеството и точността на изходните данни.

Така магнитното поле на Земята е разложено в ред до 30-я член включително. Гравитационното поле на Земята, представено с помощта на данни, получени от ИСЗ, е разложено на 186 съставляващи. Релефа на земната повърхност е разложен в ред по паралелите по формула (3) до 15-я член, включително.

Както вече беше отбелязано по-горе, изучаваното поле „U“ има аномални участъци, които практически не могат да бъдат отразени при разлагането в ред или главната част на полето е изразена с помощта на определена проста аналитична зависимост, приета да се нарича нормално поле, всички останали членове образуват неговата аномална част. Подобно разложение, изпълнено по цялата земна повърхност, обхваща обикновено само нормалното поле и основните регионални аномалии. По-голямата част от аномалиите остава не отчетена.

По този начин, обекта на изследване представен във вид на ред, играещ голяма роля в хармоничния анализ на полето, не може да бъде практически използван за получаване на изчерпателните характеристики на полето, отчитащи неговата аномална част. Но точността, с която трябва да се намерят коефициентите на членовете на разлагането, може да служи като отправен пункт за планиране на работите, изпълнявани с цел получаването на подобен ред.

Апроксимация на полето. При решаването на задачите, изискващи много по-щателно моделиране на повърхността на изучаваното поле е целесъобразно да се разбие моделираната повърхност на ред на много по-малки (локални) участъци и за всеки локален участък да се използва свое апроксимиращо изражение. Това е така наричаната „частична” апроксимация, която с успех се използва при решаване на редица конкретни задачи.

Предпочитанието, което се отделя за построяването на единна аналитична повърхност за цялото поле се обяснява с това, че се съхраняват основните особености, характерни за цялото поле. Заедно с това, определянето на параметрите на такъв модел ще бъдат извършени със значителна погрешност, което ограничава широкото използване на този способ на апроксимация при решаването на конкретни задачи.

В качеството на апроксимираща функция по принцип могат да бъдат използвани алгебрични полиноми от каква да е степен. Така за описване на земната повърхност може да се използва билинейна или бикубична функция на апроксимация на височините.

Формулата на билинейна апроксимация има следния вид

където L – линеен размер на квадрата „квадратен“ цифров модел на релефа (рис 1.);

x, y – текущо изменение на координатите относно левия долен ъгъл на квадрата;

H00, H01, H10, H11 – отметка на точката, намираща се във върховете на квадрата.

Рис. 1. Билинейна апроксимация на височините.

Полиномът (6) се явява линейна относно всяка координата „x“ и „y“, но нелинейна по произволно направление.

Грешката на определяне на височините в зависимост от размера на квадрата се отразява по формулата

където mH – СКП на определяне на височината на произволна точка;

BH(L) – структурна функция на височините, изчислявана по формулата

където индексите „i“ и „j“ съответстват на точките, разнесени на разстояние „L“.

Подобни методи са пригодни за участъци от полето, обладаващи свойства на еднородност и изотропност. В случай на не еднородност и анизотропност на изследваното поле е необходимо да се прилагат методите на обективния анализ, основани на оптималната интерполация.

Апроксимацията на полето е целесъобразно да се провежда на сравнително не големи участъци, което осигурява по-висока точност на възстановяване на полето, от метода на разлагане на полето в ред.

Коментари

Все още няма коментари

Публикувай коментар